当方元社内SE、現在人事です。 質問者様がシステムエンジニアになりたい動機次第ですが、自分の手を動かして、Webサービスを立ち上げることをお勧めします。 プログラミング書ける人、サービス作れる人をどこの会社も求めています。採用選考の場で、どれだけいい感じの自己PRをするより、自分で作ったサービスを見せるほうが説得力があります。

転職エージェント経験者です。転職はご縁なので採用する会社の社長、もしくは採用の責任者が、質問者様のお人柄やスキルに価値を感じた場合に転職が成立すると考えて見たらいかがでしょうか？ そういった意味で、まずは何社かにエントリーするなり、転職エージェントに相談するなりしてみると良いかと思います。

もしかしたら相手の質問の意図を理解することではなく、質問に対しての回答の伝え方に改善の余地があるかもしれませんね。

結論、無くても良いけど、無いよりあったほうが良いと思います。理系の技術力のある学生と比べて、あなたを採用した方が良いと面接官が判断できる材料をどれだけ用意出来るかがポイントになりそうですね。

そもそもなぜ大手itコンサルが良いのか？というところに尽きるのかなと思います。新卒でいきなり入るのではなく、何社かで実績を積んで行けば可能かと思いますよ。