文系卒プログラミング未経験でも、プログラマになることはできますか？

可能です！かく言う私はダメダメな大学の文系卒です。同じようなことを10年ほど前に悩みましたが、まずはインフラ系に進みました。そこでIT基礎を身につけながらスクリプト言語は身につけました。数年やってから本格的にシステム開発会社に第二新卒で入りました。インフラ経験あると割と重宝されます。
その後は外資のITアーキテクトに転換しましたが、やってみるとできるものです。
ただバカなので本当に人の倍、勉強して経験値積んでという生活を送りましたが。

今の段階でスキルというと正直限られますが、1言語と英語やってればよいかと。
新卒だと応用情報があれば、やる気はあると思ってくれるのでは？

小さな会社を経営しております。文系プログラマーです。

個人的には、企業の基幹システムなどのアプリケーション開発では入れたものが出てくるだけのシステムが多く、ちっとも理系要素がないので、文系のお仕事だよな、とは思います。

ただ「未経験です」「何もできません」というアピールって、それが事実だとしても、何もできない人になんでお金を払うの？ということにしかならないので、あんまりいい印象がないです。

資格が有効なのは、内容というより「少なくともやる気はあるのね」というメッセージになるからでして、別に資格でなくてもいいのですけど、仕事にはしてないけど勉強してますとか、ちょっと動かしてみました、とか、指示されないと何もしない人ではないんだな・・ということをアピールすると、たぶん好印象になります。

人手不足の状況ですから、採用とか内定とかは心配ないと思うのですが、例えば派遣中心の会社とかだと、泳ぎを覚えさせるのにとりあえず海に放り込むみたいなやりかただったりします。採用されても、質問者様がプログラミングができるようになるわけではなくて、意外と誰も教えてくれない、という点は心配したほうがいいかと思います。